Conceptos Matematicos

La divergencia

La divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial dado.

• Interpreta un campo vectorial como si representara el movimiento de un fluido.
• La divergencia es un operador que toma una función vectorial que define a este campo vectorial y arroja como valor de salida una función escalar que mide el cambio de la densidad del fluido en cada punto.
• Esta es la fórmula para la divergencia:
  $\begin{aligned} \quad \text{div}\, \vec{\textbf{v}} = \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial \blueE{x}} + \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial \redE{y}} + \cdots \end{aligned}$
  Donde, $\blueE{v_1}$start color blueE, v, start subscript, 1, end subscript, end color blueE, $\redE{v_2}$start color redE, v, start subscript, 2, end subscript, end color redE, … son las funciones componentes de $\vec{\textbf{v}}$v, with, vector, on top.

El gradiente

El gradiente almacena toda la información de la derivada parcial de una función multivariable. Pero es más que un simple dispositivo de almacenamiento, tiene varias interpretaciones maravillosas y muchos, muchos usos.

• El gradiente de una función escalar multivariable f(x,y,…), denotado como $\nabla f$del, f, empaqueta toda la información de sus derivadas parciales en un vector:

  $\nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]$

  En particular, esto significa que $\nabla f$del, f es una función vectorial.
• Si te imaginas que estás parado en un punto (x0,y0,…), en el espacio de entrada de $f$f, el vector ∇f(x0,y0,…) te dice en qué dirección te tienes que mover para incrementar el valor de $f$f lo más rápido posible.
• Estos vectores gradientes, ∇f(x0,y0,…), también son perpendiculares a las curvas de nivel de $f$f.

Definición

Después de aprender que las funciones con entradas multidimensionales tienen derivadas parciales, te puedes preguntar cuál es la derivada completa de una función de esas. En el caso de las funciones escalares multivariables, o sea aquellas que tienen una entrada multidimensional pero una salida unidimensional, la respuesta es el gradiente.

El gradiente de una función $f$f, que se denota como $\nabla f$del, f, es la colección de todas las derivadas parciales en forma de vector.

El rotacional: rotación de un fluido en tres dimensiones

El rotacional es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones.

• El rotacional es un operador que toma una función, la cual representa un campo vectorial de tres dimensiones, y le asigna otra función que representa un campo vectorial diferente de tres dimensiones.
• Si un fluido se esparce en un espacio de tres dimensiones a lo largo de un campo vectorial, entonces la rotación de dicho fluido alrededor de cada punto, representado como un vector, está dada por el rotacional del campo vectorial original evaluado en ese punto. El campo vectorial rotacional se debe multiplicar por un medio para que la magnitud de los vectores rotacionales sea igual a la rapidez rotacional del fluido.
• Si una función que toma valores de vectores tridimensionales $\vec{\textbf{v}}(x, y, z)$v, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesistiene como funciones componentes a $\blueE{v_1}(x, y, z)$start color blueE, v, start subscript, 1, end subscript, end color blueE, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, $\redE{v_2}(x, y, z)$start color redE, v, start subscript, 2, end subscript, end color redE, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis y $\greenE{v_3}(x, y, z)$start color greenE, v, start subscript, 3, end subscript, end color greenE, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, entonces el rotacional se calcula de la siguiente manera:
  ∇×v⃗ Notación para el rotacional=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^

Describir la rotación con un vector

Si un objeto está rotando en dos dimensiones, puedes describir completamente la rotación con un número: la velocidad angular. Una velocidad angular positiva indica que la rotación es en sentido contrario de las manecillas del reloj mientras un número negativo indica una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. El valor absoluto de la velocidad angular describe la velocidad de la rotación, normalmente en radianes por segundo.

Para un objeto rotando en tres dimensiones, la situación es más complicada. Necesitamos representar tanto la velocidad angular como la dirección en el espacio de tres dimensiones en el que el objeto está rotando.

Para hacer esto, la rotación en tres dimensiones normalmente se describe usando un simple vector. La magnitud del vector indica la rapidez angular y la dirección es determinada por una convención muy importante llamada la "regla de la mano derecha".

• REGLA DE LA MANO DERECHA: dobla los dedos de tu mano derecha en la dirección de la rotación y extiende tu dedo pulgar. El vector que representa esta rotación en tres dimensiones está, por definición, orientado en dirección de tu dedo pulgar.